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Die Frequenzverhältnisse der Teiltöne

Die Obertöne entstehen dadurch, dass z.B. eine Saite nicht nur als Ganzes, sondern auch in allen ganzzahligen gleich großen Teilen unterteilt schwingt. Das bedeutet, dass die Saitenlänge des Grundtons (= der erste Teilton) im Verhältnis 1:1 zu sich selbst, die des zweiten Teiltons im Verhältnis 1:2 zu der des Grundtons, die des dritten im Verhältnis 1:3 zu der des Grundtons (usw.) steht.

Ebenso stehen die Saitenlängen des zweiten Teiltons zu der des dritten im Verhältnis 2:3, die des dritte zum vierten im Verhältnis 3:4, die des zweiten zum vierten im Verhältnis 2:4 usw.

Die folgende Grafik verdeutlicht die Frequenzverhältnisse der wichtigsten Intervalle:

Prime: 1:1
gr. Ganzton (große gr. Sekunde): 8:9
kl. Ganzton (kleine gr. Sekunde): 9:10
gr. Terz: 4:5
kl. Terz: 5:6
Quarte: 3:4
Quinte: 2:3
gr. Sexte: 4:5
kl. Sexte: 5:8
gr. Septime: 8:15

?kl. Septime: 4:7?

Auffällig ist das Vorhandensein eines großen und eines kleinen Ganztones.
Der achte und neunte Teilton sind weiter voneinander entfernt, als der neunte und der zehnte.
Das wird im Vergleich zwischen den Frequenzverhältnissen 9:8 und 10:9 deutlich.
Der Unterschied zwischen großem und kleinem Ganzton entspricht dem Verhältnis 81:80 und wird syntonisches Komma genannt.
Außerdem ist die kleine Septime enger, als man es vom abendländischen Tonsystem her gewohnt
ist.

Was bedeuten diese Verhältnisse genau?

Das sind einfache mathematische Rechnungen.

Man unterscheidet zwischen Frequenzverhältnissen und dem Verhältnis der Saitenlängen!

Beispiel für das Verhältnis der Saitenlängen:

Der Grundton ist C. Die Oktave darüber c.
Da die Saite des C doppelt so lang ist wie die des c,
ist das Saitenlängenverhältnis 2:1.
Die doppelt so lange Saite schwingt halb so schnell.
Sie hat die halbe Frequenz:
Das Frequenzverhältnis ist 1:2.

Das Saitenlängenverhältnis entspricht dem Kehrwert des Frequenzverhältnisses.

Beispiel für das Frequenzverhältnis:

Der Grundton ist C. Die eine Quinte bildenden Obertöne darüber sind c - g .

Das C steht im Frequenzverhältnis 1:2 zum c.

Das C hat eine Frequenz von 66 Hz.
Also 66 Hz x 2 = 132 Hz = Frequenz des c.

Das C steht im Frequenzfverhältnis 1:3 zum g.
Also 66 Hz x 3 = 198 Hz = Frequenz des g.
 

Die Töne c - g haben das Verhältnis 132:198 = 2:3.

Auf diese Art sind die Intervalle klar definiert.

Man unterscheidet zwischen Frequenzverhältnissen und dem Verhältnis der Saitenlängen!

Die reine Stimmung