Die Frequenzverhältnisse

Die Obertöne entstehen dadurch, dass z.B. eine Saite nicht nur als Ganzes, sondern auch in allen ganzzahligen gleich großen Teilen unterteilt schwingt. Das bedeutet, dass die Saitenlänge des Grundtons (= der erste Teilton) im Verhältnis 1:1 zu sich selbst, die des zweiten Teiltons im Verhältnis 1:2 zu der des Grundtons, die des dritten im Verhältnis 1:3 steht.

Schwingung ganze Saite Schwingung halbe Saite Schwingung drittel Saite

Ebenso stehen die Saitenlängen des zweiten Teiltons zu der des dritten im Verhältnis 2:3, die des dritte zum vierten im Verhältnis 3:4, die des zweiten zum vierten im Verhältnis 2:4 usw.

Die folgende Grafik verdeutlicht die Frequenzverhältnisse der wichtigsten Intervalle:

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Auffällig ist das Vorhandensein eines großen und eines kleinen Ganztones. Der achte und neunte Teilton sind weiter voneinander entfernt, als der neunte und der zehnte. Das wird im Vergleich zwischen den Frequenzverhältnissen 9:8 und 10:9 deutlich. Der dabei ausschlaggebende Ton ist der 9. Teilton. Dieser ist auch an der Bildung der kleinen Septime beteiligt, deswegen gibt es auch eine kleine kleine Septime (9:16) und eine große kleine Septime (5:9). Außerdem ist da noch die zu enge kleine Septime mit dem Verhältnis 4:7, an der der "zu tiefe" 7. Teilton beteiligt ist.

Der Unterschied zwischen großem und kleinem Ganzton entspricht dem Verhältnis 81:80 und wird syntonisches Komma genannt.

Was bedeuten diese Verhältnisse genau?

Das sind einfache mathematische Rechnungen.

Man unterscheidet zwischen Frequenzverhältnissen und dem Verhältnis der Saitenlängen!

Beispiel für das Verhältnis der Saitenlängen:

Der Grundton ist C. Die Oktave darüber c.
Da die Saite des C doppelt so lang ist wie die des c,
ist das Saitenlängenverhältnis 2:1.
Die doppelt so lange Saite schwingt halb so schnell.
Sie hat die halbe Frequenz:
Das Frequenzverhältnis ist 1:2.

Das Saitenlängenverhältnis entspricht dem Kehrwert des Frequenzverhältnisses.

Beispiel für das Frequenzverhältnis:

Der Grundton ist C. Die eine Quinte bildenden Obertöne darüber sind c - g .

Das C steht im Frequenzverhältnis 1:2 zum c.

Das C hat eine Frequenz von 65,4 Hz.
Also 65,4 Hz x 2 = 130,8 Hz = Frequenz des c.

Das C steht im Frequenzverhältnis 1:3 zum g.
Also 65,4 Hz x 3 = 196,2 Hz = Frequenz des g.

Die Töne c - g haben das Verhältnis 130,8 : 196,2 = 2:3.

Auf diese Art sind die Intervalle klar definiert.

Man unterscheidet zwischen Frequenzverhältnissen und dem Verhältnis der Saitenlängen!